题解 P1306 【斐波那契公约数】
题解

首先,斐波那契数列相邻项的gcd=1。假设不为1的话,可以推出之前所有相邻项gcd均不为1,但gcd(f(1),f(2))=gcd(1,1)=1,矛盾,所以相邻项gcd=1。

然后,不妨设n<m,设第f(n)与f(n+1)为a,b,则有:

x f(x)

0 0 1 1 2 1 3 2 ... n a n+1 b

n+2 a+b

n+3 a+2b

n+4 2a+3b

...

m f(m-n-1)a+f(m-n)b

根据gcd(m,n)=gcd(n,m%n),则

gcd(f(m),f(n))

=gcd(f(n),f(m)%f(n))

=gcd(a,f(m-n)b)

因为a和b是相邻项,gcd=1,所以

_原式_=gcd(f(n),f(m-n))

递归带入,得到

_原式_=gcd(f(n),f(m%n))

这就是gcd辗转相除的形式,所以可以得到

gcd(f(m),f(n))=f(gcd(m,n))

问题解决

只需要先用O(logn)时间求gcd(m,n),再求f(gcd(m,n)),如果暴力求的话最差会有O(n)时间(如m=10^9,n=1),题目说会TLE。所以矩阵快速幂,总时间O(logn)

PS:写起来简单,证明麻烦,如果知道结论性质的话,问题已经解决了。

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