题解 P1306 【斐波那契公约数】

首先，斐波那契数列相邻项的gcd=1。假设不为1的话，可以推出之前所有相邻项gcd均不为1，但gcd(f(1),f(2))=gcd(1,1)=1，矛盾，所以相邻项gcd=1。 然后，不妨设n<m，设第f(n)与f(n+1)为a,b，则有： x f(x) 0 0 1 1 2 1 3 2 ... n a n+1 b n+2 a+b n+3 a+2b n+4 2a+3b ... m f(m-n-1)a+f(m-n)b 根据gcd(m,n)=gcd(n,m%n)，则 gcd(f(m),f(n)) =gcd(f(n),f(m)%f(n)) =gcd(a,f(m-n)b) 因为a和b是相邻项，gcd=1，所以 \_原式\_=gcd(f(n),f(m-n)) 递归带入，得到 \_原式\_=gcd(f(n),f(m%n)) 这就是gcd辗转相除的形式，所以可以得到 gcd(f(m),f(n))=f(gcd(m,n)) 问题解决 只需要先用O(logn)时间求gcd(m,n)，再求f(gcd(m,n))，如果暴力求的话最差会有O(n)时间（如m=10^9，n=1），题目说会TLE。所以矩阵快速幂，总时间O(logn) PS:写起来简单，证明麻烦，如果知道结论性质的话，问题已经解决了。